Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n且S_n+1=$\frac{3}{2}$S_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，求满足不等式T_n＜$\frac{12}{{S}_{n}+2}$的n值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{2}$，从而${a}_{n}=（\frac{3}{2}）^{n-1}$；
（2）由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，所以T_n=$3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$，又${S}_{n}=2（\frac{3}{2}）^{n}-2$，所以不等式T_n＜$\frac{12}{{S}_{n}+2}$可化简为$（\frac{2}{3}）^{n}＞\frac{1}{3}$，解得n=1或2．

解答 解：（1）∵${S_{n+1}}=\frac{3}{2}{S_n}+1$  （n∈N^*）
∴${S}_{n+2}=\frac{3}{2}{S}_{n+1}+1$，
故${S}_{n+2}-{S}_{n+1}=\frac{3}{2}（{S}_{n+1}-{S}_{n}）$，
所以$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{2}$，
又a₁=1，
所以${a}_{2}=\frac{3}{2}$，
从而数列{a_n}是首项为1，公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，
则有${a}_{n}=（\frac{3}{2}）^{n-1}$；
（2）由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，
${T}_{n}=\frac{1×[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=$3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$，
又${S}_{n}=2（\frac{3}{2}）^{n}-2$，
所以不等式T_n＜$\frac{12}{{S}_{n}+2}$即为$3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]＜\frac{12}{2（\frac{3}{2}）^{n}-2+2}$，
化简得$（\frac{2}{3}）^{n}＞\frac{1}{3}$，
解得n=1或2．

点评 本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和等知识，考查转化思想，属中档题．