Question

9．对k∈Z，设-sin（2kπ-θ）与cos（2kπ-θ）是方程2x²+（$\sqrt{2}$+1）x+5m=0的两根，求：
（1）m的值；
（2）$\frac{sinθ}{1+cot（-θ）}$+$\frac{cos（-θ）}{1+tan（-θ）}$的值．

Answer 1

分析 利用根与系数的关系列出关系式，变形即可求出m的值；原式利用同角三角函数间基本关系化简，将sinθ+cosθ的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）∵由诱导公式可得，-sin（2kπ-θ）=sinθ，cos（2kπ-θ）=cosθ，
∴由题意，sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$①，sinθcosθ=$\frac{5m}{2}$②，
∴①平方可得：1+2sinθcosθ=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，代入②可解得：m=$\frac{2\sqrt{2}-1}{20}$．
（2）$\frac{sinθ}{1+cot（-θ）}$+$\frac{cos（-θ）}{1+tan（-θ）}$=$\frac{sinθ}{1-\frac{cosθ}{sinθ}}$+$\frac{cosθ}{1-\frac{sinθ}{cosθ}}$=$\frac{si{n}^{2}θ-co{s}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$=sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．