Question

4．已知函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{16}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式，倍角公式化简函数解析式，由三角函数的周期性及其求法即可得解．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得函数解析式：g（x）=$\frac{1}{2}$sin4x，由正弦函数的图象和性质即可求值．

解答 解：（1）f（x）=sin（π-ωx）cosωx=sinωxcosωx=$\frac{1}{2}$sin2ωx．
∵T=$π=\frac{2π}{2ω}$，
∴可解得：ω=1．
（2）由（1）可得函数解析式为：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x．
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数解析式为：y=g（x）=f（2x）=$\frac{1}{2}$sin4x．
∵0≤x≤$\frac{π}{16}$时，0≤4x≤$\frac{π}{4}$，
∴0≤sin4x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴0≤g（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴g（x）在此区间内的最小值为0．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式（1）化简的标准有：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出．