Question

15．已知f（x）=xlnx-x．
（1）求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值；
（2）证明：对任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$+1＜lnx成立．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），根据f′（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最的单调性，这样即可求得f（x）的最大值和最小值，
（2）要证$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$+1＜lnx成立．即证$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$-lnx＜-1恒成立，构造新函数，求导数，确定单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）∵f′（x）=lnx+1-1=lnx，
令lnx=0，解得x=1，
当f′（x）＞0时，即1＜x≤e时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即$\frac{1}{e}$≤x＜1时，函数f（x）单调递减，
当x=1时，函数f（x）有最小值，f（x）_min=f（1）=-1，
f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$=$-\frac{2}{e}$，f（e）=elne-e=0，
综上所述f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值为0，最小值为-1；
（2）要证$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$+1＜lnx成立．即证$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$-lnx＜-1恒成立
设g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$-lnx，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{3}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{3-2x}{2{x}^{2}}$
∵g′（e）=-$\frac{1}{{e}^{e}}$+$\frac{3-2e}{2{e}^{2}}$＜0，
∴对任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，g′（x）＜0恒成立
∴g（x）在定义域内单调递减
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{\frac{1}{e}}}$-$\frac{3e}{2}$+1＜-1
∴$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$+1＜lnx．

点评 本题考查考查根据导数符号判断函数单调性的方法，及单调函数在闭区间上的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．