Question

13．已知曲线C的极坐标方程：ρ=$\frac{8cosθ}{si{n}^{2}θ}$，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出曲线C与直线l的普通方程，并说明是什么曲线？
（2）若曲线C与直线l交于A、B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，及把参数方程转化成直角坐标方程．
（2）把（1）中的方程转化成方程组，进一步利用根和系数的关系求出弦长和三角形的高，在利用三角形的面积公式求出结果．

解答 解：（1）已知曲线C的极坐标方程：ρ=$\frac{8cosθ}{si{n}^{2}θ}$，
转化成直角坐标方程为：y²=8x．
该方程是以原点为顶点，对称轴为x轴的抛物线．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．
转化成直角坐标方程为：2x+y-4=0．
该方程是一条直线．
（2）根据（1）得到：$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=8x\\ 2x+y-4=0\end{array}\right.$设交点坐标为：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
把方程组转化成：4x²-6x+4=0
x₁+x₂=6，x₁x₂=4
则：$\left|AB\right|=\sqrt{1+4}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{5}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=10
原点到直线AB的距离d=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
则：${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}\left|AB\right|•d$=4$\sqrt{5}$
所以：${S}_{△ABC}=4\sqrt{5}$

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程之间的转化，一元二次方程根和系数的关系，点到直线间的距离，弦长公式的应用，及相关的运算问题．