Question

18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，它的一个顶点恰好在抛物线x²=8y的准线上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（2，$\sqrt{3}$），Q（2，-$\sqrt{3}$）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
（i）若直线AB的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求四边形APBQ面积的最大值；
（ii）当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x²=8y的准线y=-2上，可得-b=-2，解得b．又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得即可．
（2）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}x+t$，与椭圆方程联立化为${x}^{2}+\sqrt{3}tx+3{t}^{2}$-12=0，由△＞0，解得$-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜t＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$，利用根与系数的关系可得：x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．四边形APBQ面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×|{x}_{1}-{x}_{2}|$，利用二次函数的单调性即可得出．
（ii）由∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，直线PA的方程为：$y-\sqrt{3}$=k（x-2），与椭圆的方程联立化为$（1+4{k}^{2}）{x}^{2}+8k（\sqrt{3}-2k）x$+4$（\sqrt{3}-2k）^{2}$-16=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．

解答 解：（1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x²=8y的准线y=-2上，
∴-b=-2，解得b=2．
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
∴a=4，$c=2\sqrt{3}$，
可得椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2））（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}x+t$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{6}x+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，化为${x}^{2}+\sqrt{3}tx+3{t}^{2}$-12=0，
由△＞0，解得$-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜t＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\sqrt{3}t$，x₁x₂=3t²-12，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{48-9{t}^{2}}$．
四边形APBQ面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{3}\sqrt{48-9{t}^{2}}$，当t=0时，S_max=12．
（ii）∵∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，
可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
直线PA的方程为：$y-\sqrt{3}$=k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，
化为$（1+4{k}^{2}）{x}^{2}+8k（\sqrt{3}-2k）x$+4$（\sqrt{3}-2k）^{2}$-16=0，
∴x₁+2=$\frac{8k（2k-\sqrt{3}）}{1+4{k}^{2}}$，
同理可得：x₂+2=$\frac{-8k（-2k-\sqrt{3}）}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{8k（2k+\sqrt{3}）}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-16\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直线AB的斜率为定值$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、斜率计算公式、四边形面积最大值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．