Question

9．已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，周长a+b+c=$\sqrt{2}$+1，△ABC的面积为$\frac{1}{6}$sinC．
（1）求边c的长；
（2）求ab的值；
（3）求角C的度数．

Answer 1

分析 （1）已知等式sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，利用正弦定理化简，代入a+b+c=$\sqrt{2}$+1中求出c的值即可；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积代入求出ab的值即可；
（3）由c的值，求出a+b的值，再由ab的值，利用余弦定理求出cosC的值，即可确定出C的度数．

解答 解：（1）△ABC中，sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，
利用正弦定理化简得：a+b=$\sqrt{2}$c，
∵a+b+c=$\sqrt{2}$+1，
∴$\sqrt{2}$c+c=$\sqrt{2}$+1，
则c=1；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{6}$sinC，
∴ab=$\frac{1}{3}$；
（3）∵c=1，∴a+b=$\sqrt{2}$，
由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2-\frac{2}{3}-1}{\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
则C=60°．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．