Question

4．若a∈（$\frac{1}{4}$，4），将函数f（x）=2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$的图象向右平移2个单位后得曲线C₁，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C₂，C₁与C₂关于x轴对称，若F（x）=$\frac{f（x）}{a}+$g（x）的最小值为m，且m＞2+$\sqrt{7}$，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，2）．

Answer 1

分析 根据C₁推出C₂，由C₂推出g（x），再算出=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$）•2^x+$\frac{4a-1}{{2}^{x}}$+2，利用基本不等式即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵将的图象向右平移2个单位后得曲线C₁，
∴曲线C₁：p（x）=2^x-2-$\frac{a}{{2}^{x-2}}$，
∵曲线C₂，C₁与C₂关于x轴对称，
∴曲线C₂：q（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2，
∵将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C₂，
∴g（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2+2，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{a}$+g（x）=$\frac{{2}^{x}}{a}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2+2=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$）•2^x+$\frac{4a-1}{{2}^{x}}$+2，
∵a∈（$\frac{1}{4}$，4），
∴$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$＞0，4a-1＞0，
∵2^x＞0，
∴F（x）≥2$\sqrt{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）•（4a-1）}$+2，
∵F（x）最小值为m且m＞2+$\sqrt{7}$，
∴m=2$\sqrt{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）•（4a-1）}$+2＞2+$\sqrt{7}$，
解得：$\frac{1}{2}$＜a＜2．
综上所述：实数a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，2）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，2）．

点评 本题考查函数中参数的取值范围的求法，涉及到函数图象的对称性、函数的单调性、函数的最值、均值定理等知识点，综合性强，解题时要注意等价转化思想的合理运用．