Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{3}$，且过点N（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若点M是以椭圆短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆于P，Q两点，椭圆的右焦点为F₂，求|PF₂|+|PM|的值．

Answer 1

分析 （I）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用椭圆的焦半径公式和勾股定理，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（I）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$
N（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）代入椭圆方程，可得$\frac{9}{2{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
a²-b²=c²，
解得a=3，b=2$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1，即有y₁²=8（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$），
|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+8（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}）}$=$\sqrt{（\frac{{x}_{1}}{3}-3）^{2}}$
=3-$\frac{1}{3}$x₁，0＜x₁＜3，
又M是圆O：x²+y²=8的切点，连接OP，OM，
∴|PM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|OM{|}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-8}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+8（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}）-8}$=$\frac{1}{3}$x₁，
∴|PF₂|+|PM|=3-$\frac{1}{3}$x₁+$\frac{1}{3}$x₁=3．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．