Question

6．已知函数f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）cosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（θ）=$\frac{1}{2}$，θ∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），求sinθ的值．

Answer 1

分析 根据积化和差公式，将f（x）转换为2sin（x+$\frac{π}{6}$），求得最小正周期，由sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，根据θ的取值范围，求得θ+$\frac{π}{6}$的取值范围，在求得cos（θ+$\frac{π}{6}$）的值，在利用θ+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$，和积化和差公式求得sinθ的值

解答 解：（1）f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）cosx
=cosx+$\sqrt{3}$sinx
=2sin（x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x）的最小正周期为2π．
（2）由f（θ）=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$
θ∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），θ+$\frac{π}{6}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
则cos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$
则sinθ=sin（θ+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）
=sin（θ+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（θ+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{1}{4}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{15}}{4}$•$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{15}}{8}$

点评 主要考察函数的积化和差公式，求函数的周期，根据θ的取值范围，得到其余弦的取值，属于基础题．