Question

11．己知数列{a_n}满足a₁=3，且当n∈N^*时，有a_n+1+1=a₁a₂…a_n．若正整数m满足a₁a₂…a_m+2016=${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{m}^{2}$，则m=2011．

Answer 1

分析 易判断a_n＞0恒成立；从而可得当n≥2时，a_n²=a_n+1-a_n+1；从而化简${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{m}^{2}$=9+a_m+1-a₂+m-1，而a₁a₂…a_m=a_m+1+1，从而解得．

解答 解：∵a₁=3，a_n+1+1=a₁a₂…a_n；
∴a_n＞0恒成立；
当n≥2时，a_n+1+1=a₁a₂…a_n，a_n+1=a₁a₂…a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=a_n，∴a_n+1+1=a_n²+a_n，
∴a_n²=a_n+1-a_n+1；
∴${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{m}^{2}$=3²+（a₃-a₂+1）+（a₄-a₃+1）+…+（a_m+1-a_m+1）
=9+a_m+1-a₂+m-1，
而a₂+1=a₁=3，故a₂=2，
故${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{m}^{2}$=a_m+1+m+6，
又∵a₁a₂…a_m=a_m+1+1，
∴a_m+1+1+2016=a_m+1+m+6，
解得，m=2011；
故答案为：2011．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用．