Question

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msinA=sinB+sinC（m∈R）．
（I）当m=3时，求cosA的最小值；
（Ⅱ）当A=$\frac{π}{3}$时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意和正弦定理可得3a=b+c，再由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{9}（b+c）^{2}}{2bc}$，由基本不等式可得；
（Ⅱ）由题意可得m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，由三角函数公式化简可得m=2sin（B+$\frac{π}{6}$），由B∈（0，$\frac{2π}{3}$）和三角函数的值域可得．

解答 解：（I）∵在△ABC中msinA=sinB+sinC，
当m=3时，3sinA=sinB+sinC，
由正弦定理可得3a=b+c，
再由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{9}（b+c）^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{8}{9}（{b}^{2}+{c}^{2}）-\frac{2}{9}bc}{2bc}$
≥$\frac{\frac{8}{9}•2bc-\frac{2}{9}bc}{2bc}$=$\frac{7}{9}$
当且仅当b=c时取等号，
故cosA的最小值为$\frac{7}{9}$；
（Ⅱ）当A=$\frac{π}{3}$时，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=sinB+sinC，
故m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+cosB+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB
=$\sqrt{3}$sinB+cosB=2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（1，2]，
∴m的取值范围为（1，2]，
由正弦定理可得ma=b+c＞a，可得m＞1，即有m的取值范围为（1，2]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及正余弦定理解三角形和基本不等式以及三角函数的值域，属中档题．