Question

10．设函数f（x）=|x²-a|-ax-1（a∈R）．
（I）若函数y=f（x）在R上恰有四个不同的零点，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （I）若函数y=f（x）在R上恰有四个不同的零点，讨论a的范围，结合一元二次函数的图象和性质即可求a的取值范围；
（Ⅱ）根据一元二次函数的单调性和对称性的关系，进行求解即可．

解答 解：（I）若函数y=f（x）在R上恰有四个不同的零点，
则等价为f（x）=|x²-a|-ax-1=0，即|x²-a|=ax+1有四个不同的解，
若a≤0，则方程x²-a=ax+1至多有两个根，不满足条件
若a＞0，则y=x²-a与y=ax+1两个图象有四个不同的交点，
①当y=ax+1与y=-x²+a相切时，得a=-2±2$\sqrt{2}$，（负值舍掉），
②当y=ax+1过点（-$\sqrt{a}$，0）时，得a=1，∴2$\sqrt{2}$-2＜a＜1，
即a的取值范围是（2$\sqrt{2}$-2，1）
（Ⅱ）①当a≤1时，f（x）=x²-ax-a-1=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a-1，
则f（x）在[1，2]上单调递增，则f（x）_min=f（1）=-2a．
②当1＜a＜4时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}+a-1，}&{1≤x≤\sqrt{a}}\\{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-a-a，}&{\sqrt{a}＜x≤2}\end{array}\right.$，
易知f（x）在[1，$\sqrt{a}$]上单调递减，在（$\sqrt{a}$，2]上单调递
则f（x）_min=f（$\sqrt{a}$）=-a$\sqrt{a}$-1，
③当a≥4时，f（x）=-（x+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+a-1，
则f（x）在[1，2]上单调递减，
则f（x）_min=f（2）=-a-5，
综上g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-2a，}&{a≤1}\\{-a\sqrt{a}-1，}&{1＜a＜4}\\{-a-5，}&{a≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据一元二次函数图象和性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．