Question

18．已知a＞0，b＞0．且2a+b=1，求S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²的最大值．

Answer 1

分析 方法一：利用配方法化简S=4（$\sqrt{ab}$+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{5}{4}$，再根据基本不等式求出0＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，根据二次函数的性质即可求出．
方法二：利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0．且2a+b=1，
∴S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²=2$\sqrt{ab}$-（2a+b）²+4ab=2$\sqrt{ab}$+4ab-1=4（$\sqrt{ab}$+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{5}{4}$，
∵a+2b=1，
∴2$\sqrt{2ab}$≤1，
∴0＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$时，等号成立，
∴当$\sqrt{ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$有最大值，最大值为2×$\frac{\sqrt{2}}{4}$+4×$\frac{1}{8}$-1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
故S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$．
方法二：a＞0，b＞0．且2a+b=1，
∴S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2ab}$-[（2a）²+b²]≤$\sqrt{2}$•$\frac{2a+b}{2}$-$\frac{（2a+b）^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
故S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的最值的求法及应用，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．