Question

3．如图，焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F₂P与y轴的正半轴交于A点，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，若|F₁Q|=4，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{4}$

Answer 1

分析 由△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PQ|=|F₁M|-|PF₂|，再结合|F₁Q|=4，求得|PF₁|+|PF₂|=8，即a=4，再由隐含条件求得c，则椭圆的离心率可求．

解答 解：如图，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q
∴根据切线长定理可得|AM|=|AN|，|F₁M|=|F₁Q|，|PN|=|PQ|
∵|AF₁|=|AF₂|，
∴|AM|+|F₁M|=|AN|+|PN|+|PF₂|，
∴|F₁M|=|PN|+|PF₂|=|PQ|+|PF₂|，
∴|PQ|=|F₁M|-|PF₂|，
则|PF₁|+|PF₂|=|F₁Q|+|PQ|+|PF₂|=|F₁Q|+|F₁M|-|PF₂|+|PF₂|=2|F₁Q|=8，
即2a=8，a=4，
又b²=3，
∴c²=a²-b²=13，则$c=\sqrt{13}$，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，是中档题．