Question

2．设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前n项和T_n，求使得$|{T_n}-1|＜\frac{1}{2016}$成立的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知S_n=2a_n-a₁，有a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n＞1），即a_n=2a_n-1（n＞1）．由a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1）．解出即可得出．
（2）利用等比数列的前n项和公式及其不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-a₁，∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n＞1），
即a_n=2a_n-1（n＞1）．
从而a₂=2a₁，a₃=4a₁，
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1）．
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2．
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
故${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）得$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}$．
∴${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}=\frac{{\frac{1}{2}[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{2^n}$．
由$|{T_n}-1|＜\frac{1}{2016}$，得$|1-\frac{1}{2^n}-1|＜\frac{1}{2016}$，即2ⁿ＞2016．
∵2¹⁰=1024＜2016＜2048=2¹¹，
∴n≥11．
于是，使$|{T_n}-1|＜\frac{1}{2016}$成立的n的最小值为11．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．