Question

7．如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且AN=$\frac{1}{2}$NC，BN与CM相交于点E，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，试以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为基底表示$\overrightarrow{AE}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{NE}$=x$\overrightarrow{NB}$，$\overrightarrow{ME}$=y$\overrightarrow{MC}$，从而分别表示出$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{NE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+x（-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$）=x$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$（1-x）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{ME}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+y（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$（1-y）$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，从而可得x=$\frac{1}{2}$（1-y）且y=$\frac{1}{3}$（1-x），从而解得．

解答 解：设$\overrightarrow{NE}$=x$\overrightarrow{NB}$，$\overrightarrow{ME}$=y$\overrightarrow{MC}$，
$\overrightarrow{NB}$=$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{NE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+x（-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$）=x$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$（1-x）$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{ME}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+y（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$（1-y）$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，
∴x=$\frac{1}{2}$（1-y）且y=$\frac{1}{3}$（1-x），
解得，x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{1}{5}$；
故$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用及数形结合的思想应用，属于基础题．