Question

19．已知函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：?x∈[t-a，t+b]，使得|f（x）-f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．
（1）当f（x）=2x时，H（0）=2；
（2）当f（x）=x²且t∈[1，2]时，函数H（t）的值域为[2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{6}$]．．

Answer 1

分析 （1）根据题意，当f（x）=2x时，不等式|f（x）-f（0）|≤2化为|2x|≤2，求出解集，得出a+b的最大值H（0）；
（2）根据题意，当f（x）=x²且t∈[1，2]时，不等式|f（x）-f（t）|≤2化为|x²-t²|≤2，利用不等式的性质得出x²≤t²+2，求出x的取值范围，得出函数H（t）的值域．

解答 解：（1）根据题意，当f（x）=2x时，存在a＞0，b＞0，满足：
?x∈[-a，b]，使得|f（x）-f（0）|≤2，
即|f（x）|≤2，
∴|2x|≤2，
即|x|≤1，
解得-1≤x≤1；
令$\left\{\begin{array}{l}{-a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得a=b=1；
∴a+b的最大值为H（0）=2；
（2）根据题意，当f（x）=x²且t∈[1，2]时，
不等式|f（x）-f（t）|≤2可化为|x²-t²|≤2，
∴x²≤t²+2，
即|x|≤$\sqrt{{t}^{2}+2}$；
又t∈[1，2]，∴t²∈[1，4]，∴t²+2∈[3，6]；
∴$\sqrt{{t}^{2}+2}$∈[$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$]，
解得-$\sqrt{3}$≤x≤$\sqrt{3}$或-$\sqrt{6}$≤x≤$\sqrt{6}$；
当-$\sqrt{3}$≤x≤$\sqrt{3}$时，H（t）=2$\sqrt{3}$，
当-$\sqrt{6}$≤x≤$\sqrt{6}$时，H（t）=2$\sqrt{6}$；
∴函数H（t）的值域为[2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{6}$]．
故答案为：（1）2，（2）[2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{6}$]．

点评 本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．