Question

4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{2}t}\\{y=2+\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．

Answer 1

分析 （1）对ρ=6cosθ+2sinθ两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；
（2）求出直线l的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，
∴ρ²=6ρcosθ+2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=6x+2y，即（x-3）²+（y-1）²=10．
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{2}t}\\{y=2+\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴x+y=3．即直线l的普通方程为x+y=3．
（2）直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲线C的普通方程得t²+3$\sqrt{2}t$-5=0．
∴|QA|•|QB|=|t₁t₂|=5．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线参数方程的几何意义，属于中档题．