Question

设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间（-1，1]上，f（x）=

2x+1 ，  -1＜x＜0    ax+2 x+1  ，  0≤x≤1

，其中常数a∈R，且f（

1

2

）=f（

3

2

）．
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+f（-x），x∈[-2，-1]∪[1，2]．
①求证：g（x）是偶函数；
②求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的周期性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由分段函数，得f（

1

2

），再由周期2，可得f（

3

2

）=f（-

1

2

），再由条件，解方程即可得到a；
（2）①运用偶函数的定义，注意检验定义域是否关于原点对称，即可得证；
②由偶函数可知g（x）的值域与g（x）在[1，2]上的值域相等．求出g（x）在[1，2]的解析式，通过导数判断单调性，再求值域．

解答：（1）解：在区间（-1，1]上，f（x）=

2x+1 ，  -1＜x＜0    ax+2 x+1  ，  0≤x≤1

，
则f(

1

2

)=

a 2 +2

1 2 +1

=

a+4

3

，
由函数f（x）的周期为2，得f(

3

2

)=f(

3

2

-2)=f(-

1

2

)=2(-

1

2

)+1=0，
∵f(

1

2

)=f(

3

2

)，∴

a+4

3

=0，a=-4．
（2）①证明：∵对?x∈[-2，-1]∪[1，2]，有-x∈[-2，-1]∪[1，2]，
且g（-x）=f（-x）+f（-（-x））=f（-x）+f（x）=g（x），
∴g（x）是偶函数．
②解：由①知g（x）是偶函数，
所以g（x）的值域与g（x）在[1，2]上的值域相等．
又f（x）=

2x+1，-1＜x＜0 2-4x 1+x ，0≤x≤1

，
则g（1）=f（1）+f（-1）=f（1）+f（-1+2）=2f（1）=-2，
g（2）=f（2）+f（-2）=2f（0）=4，
当1＜x＜2时，-2＜-x＜-1，g（x）=f（x）+f（-x）=f（x-2）+f（-x+2）g(x)=2(x-2)+1+

-4(2-x)+2

(2-x)+1

=2x-

6

x-3

-7，
g′(x)=2+

6

(x-3)2

＞0，g（x）在（1，2）内是增函数，
得2-

6

1-3

-7＜g(x)＜2×2-

6

2-3

-7，
即-2＜g（x）＜3．
综上知，函数g（x）的值域为[-2，3）∪{4}．

点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的周期性及应用，函数的奇偶性及单调性和运用，考查运算能力，属于中档题．