Question

7．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的一条直线与它交于P，Q两点，过点P和此抛物线顶点的直线与准线交于点M．求证直线MQ平行于此抛物线的对称轴．

Answer 1

分析 设直线PQ为x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，代入抛物线y²=2px，得到y²-2pky-p²=0，由韦达定理得y₁•y₂=-p²；再证明M，Q的纵坐标相同即可．

解答 证明：抛物线y²=2px的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），
设直线PQ为x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，
代入抛物线y²=2px得：
y²=2p（ky+$\frac{p}{2}$），即y²-2pky-p²=0
由韦达定理得：y₁•y₂=-p²；
直线OP的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•x，
x=-$\frac{p}{2}$时，y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{p}{2}$=-$\frac{p}{2}$•$\frac{{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}}$=-$\frac{{p}^{2}}{{y}_{1}}$=y₂，
即有直线MQ平行于此抛物线的对称轴．

点评 本题考查直线与抛物线之间的关系，利用方程联立得到方程，根据根和系数的关系得到结论是关键．