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已知函数f(x)=loga
x+1x-1

(Ⅰ)求f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明;
(Ⅲ)求不等式f(x)>0的解集.
分析:(I)由
x+1
x-1
>0能够得到原函数的定义域.
(II)求出f(-x)和f(x)进行比较,二者互为相反数,所以F(x)是奇函数.
(III)由f(x)>0,即loga
1+x
x-1
>0
.分类讨论:当a>1时;当0<a<1时,分别求解,最后综合即得.
解答:解:(I)∵
1+x
x-1
>0
∴{,
1+x>0
x-1>0
或{,
1+x<0
x-1<0
,∴定义域为x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).(4分)
(II)∵f(-x)=loga
x-1
1+x
=-loga
x+1
x-1
=-f(x)
,∴f(x)为奇函数.
(III)f(x)>0,即loga
1+x
x-1
>0
.当a>1时,
1+x
x-1
>1
,∴x>1;
当0<a<1时,0<
1+x
x-1
<1
,∴x<-1;
∴当a>1时,x∈(1,+∞);当0<a<1时,∴x∈(-∞,-1).
点评:本题考查对数函数的定义域、对数函数的性质和应用,解题时要注意对数函数的不等式.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

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f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx
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(2)当x∈[
1
e
,e]
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12
x2+a
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13
x3+x2+ax

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已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
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(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

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