Question

19．已知点P（x，y）的坐标x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥-1\\ x+y≤3\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，且A（1，-2），则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$的取值范围为[-3，3]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据向量数量积的定义求出z=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$=x-2y，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$=x-2y，
由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
平移直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点A时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此时z最小，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
此时z=1-2×2=-3，
当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点C（3，0）时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最小，此时z最大，此时z=3-0=3，
∴目标函数z=x-2y的最小值是-3，最大值3．
故答案为：[-3，3]

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的公式进行化简，以及利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．