Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E为PA的中点．
（1）若正视方向与AD平行，作出该几何体的正视图并求出正视图面积；
（2）证明：平面CDE⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）沿AD方向看到的面为平面PAB在平面PCD上的投影，从而可得主视图；
（2）先证明AB⊥平面PAD得出AB⊥DE，再证明DE⊥PA可得DE⊥平面PAB，故而平面CDE⊥平面PAB．

解答 解（1）正视图如下：

主视图面积S=$\frac{1}{2}×4×2$=4cm²．
（2）∵PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PD⊥AB，
∵AB⊥AD，PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，又DE?平面PAD，
∴DE⊥AB，
∵E是PA的中点，AD=PD，
∴DE⊥PA，
又AB?平面PAB，PA?平面PAB，PA∩AB=A，
∴DE⊥平面PAB，
又DE?平面CDE，
∴平面CDE⊥平面PAB．

点评 本题考查了棱锥的三视图，线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定定理，属于中档题．