Question

19．已知函数f（x）=|x²-1|+x²+kx，且定义域为（0，2）．
（1）求关于x的方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个的解x₁，x₂，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对x的范围进行讨论去绝对值符号，再解方程；
（2）对x的范围进行讨论去绝对值符号，得出两个方程，对两个方程的根的个数进行讨论，利用二次函数的性质得出不等式解出k的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=kx+3，∴|x²-1|+x²+kx=kx+3，即|x²-1|+x²=3．
若0＜x≤1，则|x²-1|+x²=1-x²+x²=1，此时方程无解．
若1＜x＜2，则|x²-1|+x²=2x²-1，原方程等价于：x²=2，此时该方程的解为x=$\sqrt{2}$．
综上可知：方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解为x=$\sqrt{2}$．
（2）当0＜x≤1时，f（x）=0?kx=-1，①，当1＜x＜2时，f（x）=0?2x²+kx-1=0，②
若k=0则①无解，②的解为$x=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}∉（{1，2}）$，故k=0不合题意．
若k≠0，则①的解为$x=-\frac{1}{k}$．
∵方程②的判别式△=k²+8＞0，∴方程②有两个不相等的根，不妨设为x₁，x₂，
则${x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}＜0$，∴x₁＜0＜x₂．
（i）若$-\frac{1}{k}∈（{0，1}]$，即k≤-1，则1＜x₂＜2，
设g（x）=2x²+kx-1，则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k+1＜0}\\{7+2k＞0}\end{array}\right.$
解得$-\frac{7}{2}＜k＜-1$，又k≤-1，故$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．
（ii） 若$-\frac{1}{k}∉（{0，1}]$时，即-1＜k＜0或k＞0时，方程②在（1，2）须有两个不同解，与x₁＜0＜x₂矛盾，不合题意．
综上所述，$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．

点评 本题考查了二次函数根的个数判断，二次函数的性质，属于中档题．