Question

11．已知函数g（x）=2ax²-4ax+2+2b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值8，有最小值2，设f（x）=$\frac{g（x）}{2x}$．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若方程f（|e^x-1|）+$k（\frac{2}{{|{e^x}-1|}}-3）$=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组即可求出a，b．
（2）求出f（x）=$\frac{g（x）}{2x}$的表达式，令2^x=t，不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化为：$\frac{{{t^2}-2t+1}}{t}-k•t≥0$，转化求解k的范围即可．
（3）令m=|e^x-1|，则方程$f（|{e^x}-1|）+k（\frac{2}{{|{e^x}-1|}}-3）=0$有三个不同的实数解?关于m的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1；推出1²-（2+3k）•1+1＜0，求解即可．

解答 解：（1）函数g（x）=2ax²-4ax+2+2b（a＞0），的对称轴为：x=1∉[2，3]，
由条件在区间[2，3]上有最大值8，有最小值2，
得：$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ g（2）=2+b=2\\ g（3）=18a-12a+2+b=8\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．
（2）g（x）=2x²-4x+2，∴$f（x）=\frac{{{x^2}-2x+1}}{x}$
令2^x=t，∵x∈[-1，1]，∴$t∈[\frac{1}{2}，2]$
不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化为：$\frac{{{t^2}-2t+1}}{t}-k•t≥0$
问题等价于$\frac{{{t^2}-2t+1}}{t}-k•t≥0$在$t∈[\frac{1}{2}，2]$时恒成立，
即：$k≤{（\frac{1}{t}）^2}-2•\frac{1}{t}+1$在$t∈[\frac{1}{2}，2]$时恒成立，而此时$\frac{1}{t}∈[\frac{1}{2}，2]$
所以k≤0．
注：用二次函数（1-k）t²-2t+1≥0讨论，相应给分．
（3）令m=|e^x-1|，则方程$f（|{e^x}-1|）+k（\frac{2}{{|{e^x}-1|}}-3）=0$有三个不同的实数解?关于m的方程$f（m）+k（\frac{2}{m}-3）=0$有两个不等的根，
其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1；$f（m）+k（\frac{2}{m}-3）=0$可化为：$\frac{{{m^2}-2m+1}}{m}+k（\frac{2}{m}-3）=0$
化简得：m²-（2+3k）m+1=0，当一根等于1时，k=0不满足题意
所以它的两根分别介于（0，1）和（1，+∞），又因为m=0时，1＞0恒成立
所以只要1²-（2+3k）•1+1＜0
∴k＞0为所求的范围．

点评 本题考查函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及构造法换元法的应用，考查计算能力．