Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=

π

3

，PD=2k (k＞0)，E为AB中点．
（Ⅰ）求证：ED⊥平面PDC；
（Ⅱ）当二面角P-EC-D的大小为

π

6

时，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线EC与平面PAB所成的角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用直线与平面垂直的判定定理证明ED⊥平面PDC；
（Ⅱ）解法一：作DM⊥EC于点M，连接PM，说明∠DMP为二面角P-EC-D的平面角为

π

6

，在直角三角形DEC中，求k的值；
解法二：以点D为原点O，射线DE，DC，DP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz．求出平面PEC的法向量，平面DEC的法向量，利用二面角即可求出k的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，解法一：设平面PBA的法向量为

n3

=(x3，y3，z3)，
通过|

EC • n3

| EC || n3 |

|，求直线EC与平面PAB所成的角θ的正弦值．
解法二：设点C到平面PAB的距离为h，利用V_P-ABC=V_C-PAB，求出h=

2 3

5

，然后求解直线EC与平面PAB所成的角θ的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接DB，由题知△ABD为正三角形，∴ED⊥AB，…（1分）
∵AB∥DC，∴ED⊥DC，
又PD⊥平面ABCD，∴ED⊥PD，∴ED⊥平面PDC；…（3分）
（Ⅱ）解法一：作DM⊥EC于点M，连接PM，
∵DM为斜线PM在平面ABCD的射影，∴PM⊥EC，
∴∠DMP为二面角P-EC-D的平面角，故∠DMP=

π

6

，…（5分）
在直角三角形DEC中，DM=

DE•DC

EC

=

2 21

7

，
因为DM=

3

PD=2

3

k，所以k=

7

7

．…（7分）
解法二：以点D为原点O，射线DE，DC，DP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向
建立空间直角坐标系O-xyz．则E(

3

，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2k)，…（4分）
设平面PEC的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，

(x1，y1，z1)•(- 3 ，2，0)=0 (x1，y1，z1)•(0，2，-2k)=0

，
可得

n1

=(2k，

3

k，

3

)，…（5分）
又平面DEC的法向量可为

n2

=(0，0，1)，由|cos?

n1

，

n2

＞|=

3

2

化简得7k2=1， ∴k=

7

7

．…（7分）
（Ⅲ） 解法一：设平面PBA的法向量为

n3

=(x3，y3，z3)，

(x3，y3，z3)•(0，2，0)=0 (x3，y3，z3)•( 3 ，1，- 2 7 7 )=0

，
可得

n3

=(2，0，

21

)，…（8分）
又

EC

=(-

3

，2，0)，因此sinθ=|cos?

EC

，

n3

＞|=|

EC • n3

| EC || n3 |

|=

2 21

35

…（10分）
解法二：设点C到平面PAB的距离为h，则VC-PAB=

5 7

21

h，…（8分）
又VP-ABC=

2 21

21

，因为V_P-ABC=V_C-PAB，所以h=

2 3

5

，…（9分）
因此sinθ=

h

|EC|

=

2 21

35

．…（10分）

点评：本题考查空间几何体中直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面设出角的求法，空间向量的数量积的应用，考查逻辑推理能力与计算能力．