【题目】如图，在四面体
中，
分别为
的中点，过
任作一个平面
分别与直线
相交于点
，则下列结论正确的是___________．①对于任意的平面，都有直线
，
，
相交于同一点；②存在一个平面
，使得点
在线段
上，点
在线段
的延长线上； ③对于任意的平面，都有
；④对于任意的平面，当在线段上时，几何体
的体积是一个定值.
【答案】③④
【解析】
当
分别为
中点时，可知三线互相平行，排除①；若三线相交，交点必在
上，可排除②；取
中点
，利用线面平行判定定理可证得
平面
，
平面，再结合
为
中点可得到平面的距离相等，进一步得到到直线
的距离相等，从而证得面积相等，③正确；首先通过临界状态
与
重合，
与
重合时，求得所求体积为四面体体积一半；当不位于临界状态时，根据③的结论可证得
，从而可知所求体积为四面体体积一半，进而可知为定值，④正确.
当分别为中点时，
，则①错误
若
三线相交，则交点
不存在在线段
上，在线段
延长线上的情况，则②错误
取中点，如图
所示：
分别为
中点 
又
平面，
平面 
平面
同理可得：平面
到平面的距离相等；
到平面的距离相等
又为中点 
到平面的距离相等
到平面的距离相等
连接
交于
，则为中点 到距离相等
，则③正确
当与重合，与重合时，此时几何体体积为三棱锥
的体积
为中点 三棱锥的体积为四面体
体积的一半
当如图
所示时，由③可知
又
为
中点 
到截面的距离相等 
综上所述，几何体
的体积为四面体体积的一半，为定值，则④正确
本题正确结果：③④
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【题目】淄博七中、临淄中学为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由淄博七中版画社的同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为
，画面的上、下各留
空白，左、右各留
空白.如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小?
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【题目】如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（ ）
A.120种B.240种C.144种D.288种
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【题目】某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400km．该热带风暴中心B以
的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km．问：从此时起，经多长时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
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【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为边长为2的菱形，
，
，面
面，点
为棱
的中点.
（1）在棱
上是否存在一点
，使得
面
，并说明理由；
（2）当二面角
的余弦值为
时，求直线
与平面所成的角.
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【题目】某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过
、
、
三道工序加工而成的，、、三道工序加工的元件合格率分别为
、
、
．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；
（Ⅱ）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.
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