【题目】已知动点G(x,y)满足
(1)求动点G的轨迹C的方程;
(2)过点Q(1,1)作直线L与曲线交于不同的两点
,且线段
中点恰好为Q.求
的面积;
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)先由椭圆的定义得知轨迹为椭圆,并利用椭圆定义求出
,从已知条件中得出
,并求出
值,结合椭圆焦点位置得出椭圆
的标准方程;
(2)由已知条件得知直线的斜率存在,并设直线
的方程为
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,由
为
的中点求出
的值,从而得出直线
的方程,再利用弦长公式求出
,由点到直线的距离公式计算出原点
到直线
的距离,再利用三角形的面积公式可求出
的面积。
(1)由动点满足
可知,
动点的轨迹是以
和
为焦点,长轴长为
的椭圆,其方程为
;
(2)由于直线与曲线
相交所得线段
中点恰好为
可知,
直线的斜率一定存在,设直线
的方程为
,
联立,消去
可得
,
所以,
又线段中点的横坐标为1,
,解得
,
, 直线
的方程为
,
弦长,原点到直线
的距离为
,
。
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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【题目】如图,在四面体中,
分别为
的中点,过
任作一个平面
分别与直线
相交于点
,则下列结论正确的是___________.①对于任意的平面
,都有直线
,
,
相交于同一点;②存在一个平面
,使得点
在线段
上,点
在线段
的延长线上; ③对于任意的平面
,都有
;④对于任意的平面
,当
在线段
上时,几何体
的体积是一个定值.
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【题目】如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
,一双曲线的顶点是该椭圆的焦点,且它的实轴长等于虚轴长,设
为该双曲线上异于顶点的任一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
和
,其中
在
轴的同一侧.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)是否存在题设中的点,使得
?若存在, 求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】给出下列结论:
①“且
为真”是“
或
为真”的充分不必要条件:②“
且
为假”是“
或
为真”的充分不必要条件;③“
或
为真”是“非
为假”的必要不充分条件;④“非
为真”是“
且
为假”的必要不充分条件.
其中,正确的结论是__________.
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【题目】中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛,现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定:每场知识竞赛前三名的得分都分别为且
;选手最后得分为各场得分之和,在六场比赛后,已知甲最后得分为
分,乙和丙最后得分都是
分,且乙在其中一场比赛中获得第一名,下列说法正确的是( )
A. 乙有四场比赛获得第三名
B. 每场比赛第一名得分为
C. 甲可能有一场比赛获得第二名
D. 丙可能有一场比赛获得第一名
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