【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,求
的极值;
(Ⅱ)若在区间上
恒成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)判断函数的零点个数.(直接写出结论)
【答案】(Ⅰ)有极大值,极大值为
;没有极小值;(Ⅱ)
;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据极值的定义求解;(Ⅱ)转化为求函数的最值;(Ⅲ)根据函数的单调性和极值即可判断.
解:(Ⅰ)当时,定义域为
.
因为,所以
.
令,解得
,
极大值 |
所以在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
所以有极大值,极大值为
;没有极小值.
(Ⅱ)因为,所以在
上
恒成立,即
在
恒成立.
设
①当时,
,不符合题意.
②当时,
.
令,即
,
因为方程的判别式
,两根之积
. 所以
有两个异号根. 设两根为
,且
,
i)当时,
极大值 |
所以在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
所以,不符合题意;
ii)当时,
,即
时,
在
单调递减,所以当
时,
,符合题意.
综上,.
(Ⅲ)当或
时,
有
个零点;当
且
时,函数
有
个零点.
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【题目】某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向,与A市相距400km.该热带风暴中心B以的速度向正北方向移动,影响范围的半径是350km.问:从此时起,经多长时间后A市将受热带风暴影响,大约受影响多长时间?
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【题目】某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过、
、
三道工序加工而成的,
、
、
三道工序加工的元件合格率分别为
、
、
.已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰有两道工序加工合格的元件为二等品;其它的为废品,不进入市场.
(Ⅰ)生产一个元件,求该元件为二等品的概率;
(Ⅱ)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有2个元件是一等品的概率.
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【题目】判断下列命题的真假:
(1)一次函数(
是非零常数)的图象一定经过点
;
(2)直角三角形的外心一定在斜边上;
(3)已知,则
是
的充要条件;
(4)如果都能被5整除,则
也能被5整除.
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【题目】如图,D是AC的中点,四边形BDEF是菱形,平面平面ABC,
,
,
.
若点M是线段BF的中点,证明:
平面AMC;
求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程与曲线
直角坐标方程;
(2)设为曲线
上的动点,求点
到
上点的距离的最小值,并求此时点
的坐标.
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