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已知函数,如果函数恰有两个不同的极值点,且.
(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求的最小值,并指出此时的值.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)最小值为,此时.

试题分析:(Ⅰ)函数有两个不同的极值点,等价于有两个不等的实数根,即有两个不同的零点,利用导数判断的形状, ,发现函数当时,是减函数;当时,是增函数,故;(Ⅱ),又,故,是自变量为,定义域的函数,利用导数求其最值,并计算相应的值.
试题解析:(Ⅰ)∵ 函数恰有两个不同的极值点,即有两个零点
∴方程有两个不同的零点, 令,当时,是减函数;当时,是增函数,∴ 时取得最小值.

(Ⅱ)∵,即,∴,于是
, ∴,∵,∴
∴ 当时,是减函数;当时,是增函数.
上的最小值为,此时.
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已知函数.
(1)当时,求函数上的最大值;
(2)令,若在区间上不单调,求的取值范围;
(3)当时,函数的图象与轴交于两点,且,又的导函数.若正常数满足条件.证明:.

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已知函数.
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