Question

已知函数.
（1）当时，求函数在上的最大值；
（2）令，若在区间上不单调，求的取值范围；
（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：.

Answer 1

（1）－1；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）根据利用导数求函数在闭区间上的最值的方法即可求得.
（2）首先将代入得，然后求导：.
在区间上不单调，那么方程在（0，3）上应有实数解，且不是重根即解两侧的导数值小于0.
将方程变形分离变量得：.下面就研究函数，易得函数在上单调递增，所以，（）.结合图象知，时，在（0，3）上有实数解.这些解会不会是重根呢？
由得：，若有重根，则或.这说明时，没有重根. 由此得：.
（3）时，，所以.有两个实根，则将两根代入方程，可得.
再看看待证不等式：，这里面不仅有，还有，那么是否可以消去一些字母呢？
将两式相减，得， 变形得：
, 将此式代入上面不等式即可消去，整理可得：
，再变形得：．下面就证这个不等式.这类不等式就很常见了，一般是将看作一个整体，令，又转化为 ，只需证即可．而这利用导数很易得证.
试题解析：（1）  
函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，     3分
所以．                                     4分
（2）因为，所以，                  5分
因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，
由，有=，（）            6分
又当时，有重根；时，有重根.           7分
综上                             8分
（3）∵，又有两个实根，
∴，两式相减，得，
∴,                                          10分
于是
．                            11分
．
要证：，只需证：
只需证：．(*)                                        12分
令，∴(*)化为 ，只证即可． 在（0，1）上单调递增，，即．∴．  14分