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设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).
(I)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;
(II)求ξ的分布列和数学期望;
(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.
分析:(I)由题意知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的基本事件总数为6×6,满足条件的事件是使方程有实根,则△=b2-4c≥0,对于c的取值进行列举,得到事件数,根据概率公式得到结果.
(II)由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ的可能取值0,1,2根据第一问做出的结果写出变量对应的概率,写出分布列和期望.
(III)在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根,这是一个条件概率,做出先后两次出现的点数中有5的概率和先后两次出现的点数中有5的条件下且方程x2+bx+c=0有实根的概率,根据条件概率的公式得到结果.
解答:解:(I)由题意知,本题是一个等可能事件的概率,
试验发生包含的基本事件总数为6×6=36,
满足条件的事件是使方程有实根,则△=b2-4c≥0,即b≥2
c

下面针对于c的取值进行讨论
当c=1时,b=2,3,4,5,6;
当c=2时,b=3,4,5,6;
当c=3时,b=4,5,6;
当c=4时,b=4,5,6;
当c=5时,b=5,6;
当c=6时,b=5,6,
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19,
因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为
19
36
.


(II)由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0,1,2
根据第一问做出的结果得到
P(ξ=0)=
17
36
P(ξ=1)=
2
36
=
1
18
P(ξ=2)=
17
36

∴ξ的分布列为
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∴ξ的数学期望Eξ=0×
17
36
+1×
1
18
+2×
17
36
=1.


(III)在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根,
这是一个条件概率,
记“先后两次出现的点数中有5”为事件M,
“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N,
P(M)=
11
36
P(MN)=
7
36

P(N|M)=
P(MN)
P(M)
=
7
11
点评:本题考查等可能事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查条件概率,是一个综合题,本题是一个中档题,注意运算结果不要出错.
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(2)(理)求ξ的分布列和数学期望
(文)求P(ξ=1)的值
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