Question

设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x²+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（2）（理）求ξ的分布列和数学期望
（文）求P（ξ=1）的值
（3）（理）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x²+bx+c=0有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得基本事件总数为6×6=36，若使方程有实根，则△=b²-4c≥0，即b≥2

c

，再利用列举的方法求出目标事件个数，进而得到答案．
（2）（理）由（1）可得ξ=0，1，2，则 P(ξ=0)=

17

36

，P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

，P(ξ=2)=

17

36

，进而得到分布列与数学期望．
（文）由（1）可得ξ=1及方程只有一个根情况所包含的基本时间数，进而求出其发生的概率．
（3）计算出“先后两次出现的点数中有5”的概率与“先后两次出现的点数中有5并且方程x²+bx+c=0有实根”的概率，进而利用条件概率的公式可得答案．

解答：解：（1）基本事件总数为6×6=36，
若使方程有实根，则△=b²-4c≥0，即b≥2

c

．
当c=1时，b=2，3，4，5，6；
当c=2时，b=3，4，5，6；
当c=3时，b=4，5，6；
当c=4时，b=4，5，6；
当c=5时，b=5，6；
当c=6时，b=5，6，
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x²+bx+c=0有实根的概率为

19

36

．
（2）（理）由题意知，ξ=0，1，2，则 P(ξ=0)=

17

36

，P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

，P(ξ=2)=

17

36

，
故ξ的分布列为

	0	1	2
P

ξ的数学期望Eξ=0×

17

36

+1×

1

18

+2×

17

36

=1．
（文）P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

．
（3）记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax²+bx+c=0有实根”为事件N，
则P(M)=

11

36

，P(MN)=

7

36

，P(N|M)=

P(MN)

P(M)

=

7

11

．

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，以及条件概率的公式．