Question

【题目】已知抛物线的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

画出抛物线，过作抛物线准线于，连接，设直线的倾斜角为，由抛物线定义可得，由题意当k最大时，取得最小值.而当取得最小时，直线与抛物线相切，设出直线方程，联立抛物线可求得，进而得切点坐标，即可由双曲线定义及几何性质求得离心率.

根据题意画出抛物线，过作抛物线准线于，连接.

由抛物线定义可知，由，（），

设直线的倾斜角为，则，

可得，

当k最大时，取得最小值，且，

当取得最小值时直线与抛物线相切，

设直线的方程为，

则，化简可得，

因为直线与抛物线相切，则，

解得，由可得，同时可得切点横坐标为，

将切点横坐标带入抛物线可得，

因为点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，

由双曲线定义及两点间距离公式可得，

，

所以双曲线离心率为，

故答案为：1；.