Question

设函数f（x）=x²+2bx+c，c＜b＜1，f（1）=0且方程f（x）+1=0有实数根．
（1）证明：-3＜c≤-1，且b≥0；
（2）若m是方程f（x）+1=0的一个实数根，判断f（m-4）的符号，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=0，∴1+2b+c=0；
∴b=-．
又c＜b＜1，
故c＜-＜1．即-3＜c＜-．
又f（x）+1=0有实数根．
即x²+2bx+c+1=0有实数根．
∴△=4b²-4（c+1）≥0；
即（c+1）²-4（c+1）≥0；
∴c≥3或c≤-1；
又-3＜c＜-，取交集得-3＜c≤-1，
由b=-知b≥0．
（2）f（x）=x²+2bx+c
=x²-（c+1）x+c
=（x-c）（x-1）．
∴函数f（x）=x²+2bx+c的图象与x轴交于A（c，0）、B（1，0）两点；
∵f（m）=-1＜0，∴c＜m＜1；
∴c-4＜m-4＜1-4＜c；
∴m-4＜c．
∵f（x）=x²+2bx+c在（-∞，c）上递减，
∴f（m-4）＞f（c）=0．
∴f（m-4）的符号为正．
分析：（1）由f（1）=0，找到b与c的关系，再由b的范围，求得c的范围，再由方程f（x）+1=0有实数根，进一步求得c的范围，前后范围取交集．
（2）先明确函数f（x）=x²+2bx+c的图象与x轴交于A（c，0）、B（1，0）两点，再由f（m）=-1＜0，确定m范围，进而确定m-4的范围，通过两个交点A，B确定其符号．
点评：本题属代数推理题，将二次函数、二次方程与不等式结合起来考查．探求二次函数背景下的不等式问题，实质是将二次函数的有关性质进行适当转化．