Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC．

（Ⅰ）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅱ）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

 

 

Answer 1

（1）存在点，；（2）当时，三棱锥的最大值.

【解析】

试题分析：（1）与立体几何有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用空间中点、线、面的位置关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点；（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；四是利用线面平行的定义，一般用反证法；（3）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（4）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）假设存在使得满足条件CP∥平面ABEF

在平面内过点作交于，在平面内作直线交于点，连结 3分

∵

∴ 4分

∵

5分

又

∴平面∥平面 6分

又∵

∴，故点就是所求的点 7分

又∵

∴ 8分

（Ⅱ）因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AFEF，

所以AF⊥平面EFDC 10分

由已知BE＝x，所以AF＝x（），则FD＝8x．

∴ 12分

故

当且仅当，即＝4时，等号成立

所以，当＝4时，有最大值，最大值为 14分

解法二：

故

所以，当＝4时，有最大值，最大值为 14分

考点：（1）探究性问题；（2）求体积的最大值.