Question

18．已知函数f（x）=3xe^x+2（e为自然对数的底）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x）=3e^x（x+1），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（2）函数f（x）的单调递增区间是（-1，+∞），单调递减区间是（-∞，-1）．由此能求出函数f（x）的极值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=3xe^x+2（e为自然对数的底），
∴f′（x）=3e^x（x+1）
令f′（x）＞0，得x＞-1，∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，+∞），
令f′（x）＜0，得x＜-1，∴函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）．
（2）∵函数f（x）的单调递增区间是（-1，+∞），
函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）．
∴函数f（x）无极大值，
极小值是f（-1）=3×（-1）×e^-1+2=2-$\frac{3}{e}$．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的极小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．