Question

【题目】已知点，点，分别为椭圆的左右顶点，直线交于点，是等腰直角三角形，且．

（1）求的方程；

（2）设过点的动直线与相交于，两点，为坐标原点．当为直角时，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意知，求得，再由，代入椭圆方程，解得，即可得到椭圆的方程；

（2）设l的方程为y=kx+2，与椭圆的方程联立方程组，利用二次方程中根与系数的关系，求得，又由∠MON能为直角时，利用列出方程，即可求解.

（1）由题意知，a=2，B(2，0)，设Q（x0，y0），由，得，

代入椭圆方程，解得b2=1. ∴椭圆方程为.

（2）由题意可知，直线l的斜率存在，令l的方程为y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则整理得：(1+4k2)x2+16kx+12=0，

由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，

即(16k)2﹣4×12×(1+4k2)＞0，解得.

由韦达定理可知：.

当∠MON能为直角时，，即，

则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4

,解得k2=4，即.

综上可知，直线l的斜率时，∠MON为直角．