Question

【题目】在平面四边形中（图1），为的中点，，且，现将此平面四边形沿折起，使得二面角为直二面角，得到一个多面体，为平面内一点，且为正方形（图2），分别为的中点．

（1）求证：平面//平面；

（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理，证明平面//平面.

（2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用平面与平面所成二面角的余弦值为列方程，解方程求得的坐标，由此判断符合题意的点存在，以及求得的长.

（1）由于分别为的中点，所以由线面平行的判定定理可得//平面.可得//平面，而直线与直线相交，由面面平行的判定定理得平面//平面.

（2）因为二面角为直二面角，又，所以，由此建立如图所示的空间直角坐标系.，，，则，设平面的法向量为，则，取得.

设，则，设平面的法向量为，则，取得.由平面与平面所成二面角的余弦值为得，解得，所以，.所以存在点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为，且