Question

【题目】如图所示，在几何体中，是等边三角形，平面，，且.

（I）试在线段上确定点的位置，使平面，并证明；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）

【解析】

（I）取为的中点，连接EM,取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得再证明平面即可证明平面,则M为所求；（II）以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可

（I）当点为的中点时，平面.证明如下：取中点，连接，，

且，又，，

且，四边形为平行四边形，.

又平面，，平面，又CD面BCD,平面平面，是等边三角形，，

又平面平面，平面，平面.

（II）由（I）FA,FB,FM两两互相垂直，以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，

，.设平面的法向量为，

则，即，解得，

令，则，，由（I）知，平面的一个法向量为，

，二面角的余弦值为.