Question

已知函数f（x）=x-．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），
且f′（x）=1+-=
设g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a²-8，
①当△=a²-8＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当△=a²-8=0，即a=2时，仅对x=有f′（x）=0，
对其余的x＞0，都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
③当△=a²-8＞0，即a＞2时，
g（x）=x²-ax+2=0有两个不同的实根，，
由f′（x）＞0得，0＜x＜或x＞，
由f'（x）＜0得，＜x＜，
此时f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，
在（，）是上单调递减，
（2）解：f′（x）=1+-=，
依题意f'（x）≤0（等零的点是孤立的），即x²-ax+2≤0在（1，2）上恒成立，
令g（x）=x²-ax+2，则有，解得a≥4，
故实数a的取值范围为[4，+∞）．
分析：（1）求f（x）的定义域和导数fˊ（x）=，设g（x）=x²-ax+2，因为在函数式中含字母系数，需要根据△的符号进行分类讨论，分别在函数的定义域内解不式g（x）＞0和g（x）＜0确定的f（x）单调区间；
（2）由条件确定f'（x）≤0，再转化为x²-ax+2≤0在（1，2）上恒成立，由二次函数的图象列出不等式求解，避免了分类讨论．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、解不等式以及二次函数的图象应用等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力，以及分类讨论的思想方法．