Question

设函数f（x）=

ax

x2+b

在x=-1处取得极值-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）m为何值时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）若直线l与f（x）的图象相切于P（x₀，y₀），求l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在x=-1处取得极值-2，建立两个等式关系，求出两个变量a，b即可；
（2）求出导数，令导函数大于0，即可得到函数的递增区间，又由函数f（x）在（m，2m+1）上是增函数，则（m，2m+1）为递增区间的子集，建立关于参数m的不等式，解出即可求得结论；
（3）直线l的斜率为k=f′（x₀）=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]，换元，即可求l的斜率k的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

ax

x2+b

，∴f′（x）=

a(b-x2)

(x2+b)2

又函数f（x）=

ax

x2+b

在x=-1处取得极值-2，∴

a(b-1)=0 -a 1+b =-2

，
解得：a=4，b=1，
∴f（x）=

4x

x2+1

…2分
（2）∵f′（x）=

4(1-x2)

(x2+1)2

，
令f′（x）＞0，解得-1＜x＜1
∴函数f（x）的递增区间为（-1，1）．
又∵f（x）在（m，2m+1）上单调递增，
∴

m≥-1 2m+1≤1

，解得-1≤m≤0．
∵在区间（m，2m+1）中2m+1＞m，∴m＞-1．
综上，-1＜m≤0．…5分
（3）∵f′（x）=

4(1-x2)

(x2+1)2

，
∴直线l的斜率为k=f′（x₀）=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]…10分
令

1

x02+1

=t，t∈（0，1]，∴k=4（2t²-t）∈[-

1

2

，4]…12分

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．