Question

20．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=x³|x|；
（2）f（x）=x²sinx；
（3）y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$；
（4）f（x）=ln|x|-secx；
（5）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，x＜0}\\{1+x，x≥0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的判断，及函数奇偶性的性质，即可判断函数的奇偶性．

解答 解：（1）f（x）=x³|x|，
y=x³为奇函数，y=|x|为偶函数，
根据函数奇偶性的性质，f（x）=x³|x|，为奇函数，
（2）f（x）=x²sinx，
y=x²为偶函数，y=sinx为奇函数，
∴由奇函数和偶函数的乘积为奇函数，
（3）令f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，定义域为R，
则f（-x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=-f（x），
y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，为奇函数，
（4）f（x）=ln|x|-secx定义域为x≠0，
f（-x）=ln|-x|-sec（-x）=ln|x|-secx=f（x），
∴函数f（x）=ln|x|-secx为偶函数，
（5）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，x＜0}\\{1+x，x≥0}\end{array}\right.$，定义域为R，
当x＜0，f（-x）=1-x=f（x），
当x≥0．f（-x）=1-（-x）=1+x=f（x），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，x＜0}\\{1+x，x≥0}\end{array}\right.$，为偶函数．

点评 本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性的性质，属于中档题．