Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，a₂=8，a₃+a₄=48．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄a_n．证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意 q＞0．
∵a₂=8，a₃+a₄=48，∴a₁q=8，a1q2+a1q3=48．
两式相除得 q²+q-6=0，
解得 q=2，舍去 q=-3．
∴a1=

a2

q

=4．
∴数列{a_n}的通项公式为 an=a1•qn-1=2n+1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得 bn=log4an=

n+1

2

．
∵bn+1-bn=

n+2

2

-

n+1

2

=

1

2

，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为d=

1

2

的等差数列．
∴Sn=nb1+

n(n-1)

2

d=

n2+3n

4

．