Question

（本小题满分12分）等差数列中，，公差是自然数，等比数列中， （Ⅰ）试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使 的项不都是中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断时，是否所有的项都是中的项，并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．

Answer 1

(Ⅰ) ， (Ⅱ)  见解析（Ⅲ）见解析

（1）时，的项都是中的项；（任一非负偶数均可）;
时，的项不都是中的项．（任一正奇数均可）;
（2）时，
的项一定都是中的项
（3）当且仅当取（即非负偶数）时，的项都是中的项．
理由是：①当时，时，
，其中
是的非负整数倍，设为（），只要取即（为正整数）即可得，
即的项都是中的项；②当时，不是整数，也不可能
是的项．