Question

6．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，与x轴交于A、B两点，与y轴交于P点，其一条对称轴与x轴交于C点，且PA=PC=2$\sqrt{3}$，PB=BC．则ω=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由题意利用正弦定理求得∠BCP=∠BPC=θ的值，可得∠PBA=2θ的值，判断△PAB为直角三角形，利用直角三角形中的边角关系求得AB的值，可得半个周期的值，从而求得ω的值．

解答 解：由题意PA=PC=2$\sqrt{3}$，可得△PAC为等腰三角形，∴∠PAB=∠PCB=θ，
由PB=BC，可得∠BCP=∠BPC=θ，∴∠PBA=2θ．
令PB=BC=x，则AB=2x，△PAB中，由正弦定理可得$\frac{PB}{sin∠PAB}$=$\frac{AB}{sin∠APB}$，
即$\frac{x}{sinθ}$=$\frac{2x}{sin（π-3θ）}$，∴$\frac{1}{sinθ}$=$\frac{2}{3sinθ-{4sin}^{3}θ}$，∴sinθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$，∠PBA=2θ=$\frac{π}{3}$，∴∠APB=$\frac{π}{2}$．
由PA=PC=2$\sqrt{3}$，∴PB=BC=$\sqrt{3}$，∴AB=$\frac{PA}{cosθ}$=4=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查余弦函数的图象，正弦定理、直角三角形中的边角关系以及三倍角公式的应用，属于中档题．