Question

1．已知在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=2，AD=4，BC=1，侧棱AA₁=4．
（1）若E为AA₁上一点，试确定E点的位置，使EB∥平面A₁CD；
（2）在（1）的条件下，求二面角E-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以AB，AD，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当E点的坐标为（0，0，3），${A_1}E=\frac{1}{4}{A_1}A$时，EB∥平面A₁CD．
（2）连接ED，BD，AA₁求出平面ABD的一个法向量和平面BED的一个法向量，利用向量法能求出二面角E-BD-A的余弦值．

解答 解：（1）当${A_1}E=\frac{1}{4}{A_1}A$时，EB∥平面A₁CD．
如图，以AB，AD，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
连接EB，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），
C（2，1，0），A₁（0，0，4）．
设E（0，0，z），则$\overrightarrow{BE}=（{-2，0，z}）$，$\overrightarrow{C{A_1}}=（{-2，-1，4}）$，$\overrightarrow{CD}=（{-2，3，0}）$．∵$EB\user1{∥}$平面A₁CD，
∴不妨设$\overrightarrow{BE}=x\overrightarrow{CA}+y\overrightarrow{CD}$，
∴（-2，0，z）=x（-2，-1，4）+y（-2，3，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}-2=-2x-2y\\ 0=-x+3y\\ z=4x\end{array}\right.$，解得z=3．
所以当E点的坐标为（0，0，3），${A_1}E=\frac{1}{4}{A_1}A$时，EB∥平面A₁CD．
（2）连接ED，BD，AA₁⊥平面ABD，
∴向量$\vec m=（{0，0，1}）$为平面ABD的一个法向量．
设平面BED的一个法向量为$\vec n=（{{x_0}，{y_0}，1}）$，
而$\overrightarrow{BE}=（{-2，0，3}）$，$\overrightarrow{BD}=（{-2，4，0}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{BE}=-2{x_0}+3=0\\ \vec n•\overrightarrow{BD}=-2{x_0}+4{y_0}=0\end{array}\right.$，解得$\vec n=（{\frac{3}{2}，\frac{3}{4}，1}）$．
∴$cos\left?{m，n}\right＞=\frac{\vec m•\vec n}{{|{\vec m}|•|{\vec n}|}}$=$\frac{1}{{1×\sqrt{{{（{\frac{3}{2}}）}^2}+{{（{\frac{3}{4}}）}^2}+{1^2}}}}$=$\frac{{4\sqrt{61}}}{61}$．
所以二面角E-BD-A的余弦值为$\frac{{4\sqrt{61}}}{61}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的求法与判断，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．