Question

设函数f（x）=x^-1e^x的定义域为（0，+∞）．
（1）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）设函数，如果x₁≠x₂，且g（x₁）=g（x₂），证明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

解：（1），则x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0．
所以，函数f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2分）
当m≥1时，函数f（x）在[m，m+1]上是增函数，
此时；
当0＜m＜1时，函数f（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，
此时f（x）_min=f（1）=e；（6分）
（2）证明：
考察函数g（x）=xe^-x，g′（x）=（1-x）e^-x
所以g（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．（结论1）
考察函数F（x）=g（x）-g（2-x），即F（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2
于是F'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x
当x＞1时，2x-2＞0，从而e^2x-2-1＞0，又e^-x＞0，所以F′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数．
又F（1）=e^-1-e^-1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即g（x）＞g（2-x）．（结论2）（9分）
若（x₁-1）（x₂-1）=0，由结论1及g（x₁）=g（x₂），得x₁=x₂=1，与x₁≠x₂矛盾；
若（x₁-1）（x₂-1）＞0，由结论1及g（x₁）=g（x₂），得x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾；（11分）
若（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨设x₁＜1，x₂＞1
由结论2可知，g（x₂）＞g（2-x₂），所以g（x₁）=g（x₂）＞g（2-x₂）．
因为x₂＞1，所以2-x₂＜1，又由结论1可知函数g（x）在区间（-∞，1）内是增函数，
所以x₁＞2-x₂，即x₁+x₂＞2．（15分）
分析：（1）先求其导函数，找到其增减区间即可求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）先求出函数g（x）的增减区间，再利用题中要证的结论构造新函数F（x）=g（x）-g（2-x），求出新函数F（x）=g（x）-g（2-x）的增减区间，把二者相结合即可证明结论．
点评：本题的第一问主要考查利用导函数求函数在闭区间上的最值问题，比较基础，第二问就比较难，适合中上等学生来做．