Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足3a_n=2S_n+a₁（n∈N^*），且a₁+1，2a₂，a₃+5成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log${\;}_{{a}_{n}}$9（n∈N^*）．求数列{b_nb_n+1}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的前n项和S_n满足3a_n=2S_n+a₁（n∈N^*），当n≥2时，可得a_n=3a_n-1．由于a₁+1，2a₂，a₃+5成等差数列．可得2×2a₂=a₃+5+a₁+1，把a₂=3a₁，a₃=3a₂=9a₁，代入解出即可得出．
（2）b_n=log${\;}_{{a}_{n}}$9=$\frac{lo{g}_{3}9}{lo{g}_{3}{3}^{n}}$=$\frac{2}{n}$．可得b_nb_n+1=$\frac{4}{n（n+1）}$=$4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足3a_n=2S_n+a₁（n∈N^*），
∴当n≥2时，3a_n-1=2S_n-1+a₁，可得3a_n-3a_n-1=2a_n，
化为a_n=3a_n-1，
∵a₁+1，2a₂，a₃+5成等差数列．
∴2×2a₂=a₃+5+a₁+1，化为4a₂=a₁+a₃+6，
把a₂=3a₁，a₃=3a₂=9a₁，代入上式可得：
12a₁=a₁+9a₁+6，
解得a₁=3．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a_n=3ⁿ．
（2）b_n=log${\;}_{{a}_{n}}$9=$\frac{lo{g}_{3}9}{lo{g}_{3}{3}^{n}}$=$\frac{2}{n}$．
∴b_nb_n+1=$\frac{4}{n（n+1）}$=$4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴前n项和T_n=4$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=4$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推公式的应用、对数的运算性质、“裂项求和”方法，查克拉推理能力与计算能力，属于中档题．